对面积的曲面积分弄到快晕了。。。

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解：原式=∫∫<S>(xy+yz+xz)√[1+(αz/αx)?+(αz/αy)?]dxdy (S：x?+y?=2ax)

=∫∫<S>(xy+yz+xz)√[1+(x/√(x?+y?))?+(y/√(x?+y?))?]dxdy

=√2∫∫<S>(xy+yz+xz)dxdy

=√2∫<-π/2,π/2>dθ∫<0,2acosθ>(r?sinθcosθ+r?sinθ+r?cosθ)rdr (做极坐标变换)

=√2∫<-π/2,π/2>dθ∫<0,2acosθ>(sinθcosθ+sinθ+cosθ)r?dr

=(√2/4)∫<-π/2,π/2>(sinθcosθ+sinθ+cosθ)(cosθ)^4dθ

=(√2/4)∫<-π/2,π/2>[(1-2sin?θ+(sinθ)^4)cosθ+((cosθ)^5+(cosθ)^4)sinθ]dθ

=(√2/4)[sinθ-(2/3)sinθ+(1/5)(sinθ)^5-(1/6)(cosθ)^6-(1/5)(cosθ)^5]│<-π/2,π/2>

=(√2/4)(1-2/3+1/5+1-2/3+1/5)

=4√2/15。

有三种方法，直接计算有两种方法，利用对称性巧妙计算更简单，如下：

因为单位球面分别关于xoz面、yox面、zoy面对称，于是?y?ds=?y?ds=?z?ds

所以?y?ds＝1/3（?y?ds＋?y?ds＋?z?ds）＝1/3?（y?＋y?＋z?）ds＝1/3?ds (将球的方程y?＋y?＋z?=1被积式)＝(1/3)×4πR?＝4π/3

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